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如何使用骰子的奥秘

骰子是最早的赌博用具之一。本文中我将只讨论标准的现代骰子。这类骰子自然都是立方体,每一面上都有若干个点,其点数分别为1,2,3,4,5和6。相对两面上的点数之和均为7,这样骰子的6个面可以分为三对,即1与6,2与5,3与4。骰子的面恰好有两种配置方式具有这一性质,且这两种方式互为镜像。目前,西方制造的几乎所有骰子的点数为1,2,3的三个面沿着道时针方向围绕着其公共顶点排列。有人告诉我说,在日本,具有这种手掷性的骰子用于除了麻将之外的所有游戏中。麻将这种游戏使用的是与其成镜像的骰子,从现在起,除非另有说明,我将使用西式骰子。

骰子常常是成对掷出,以便得到一个期望的总点数。首先假设骰子是"公平"的,这样掷出时每一面都有1/6的概率。为了计算某一总点数出现的概率,我们必须找出有多少种情形可以得到这一总点数。然后我们把这个数字除以36,即骰子对的总数(注意必须把两个骰子区别开来)。

想象一个骰子是红色而另一个骰子是蓝色有助于理解问题。这样,比如说12这个总点数只能有一种情形,即红色骰子掷出6点,而蓝色骰子也掷出 6点。因此总点数为 12出现的概率为 1/36。另外,总点数为11可以有两种情形得到,即红色骰子掷出6点,蓝色骰子掷出5点,或者红色骰子掷出5点,蓝色骰子掷出6点。这样总点数为 11出现的概率为 2/36,即 1/18。

伟大的数学家和哲学家Gottfried Leibniz认为,掷出 11点和 12点的概率必定是相同的,因为在他看来只有一种情形掷出11这个总点数一一也就是一个骰子掷出6点,而另一个骰子掷出5点。这一理论存在若干问题。最突出的问题或许是它同实验结果完全矛盾。实验结果表明,掷出11点的可能性为掷出12点的可能性的两倍。另外一个问题是,这一理论将导致一个不可靠的结论,即两个骰子掷出某一总点数--不管是多少--的概率小于1。

在有一种游戏掷二骰赌博(craps)中,对这些概率的直观感觉起着关键的作用。掷二骰赌博起源于19世纪40年代。在这种赌博中,一位参赌者(掷骰方)拿出一笔钱作赌注。其他参赌者则"跟进"(fade),也就是赌他们自己选择的一笔数额的钱。如果跟进的钱的总额小于掷骰方开始时下的赌注,则他就把该赌注减少到与这一总额相等。然后掷骰方开始掷一对骰子。如果第一把掷出的骰子的总点数为7或11(称为"天然"点数(natural)),则他马上就赢了这场赌博。如果第一把掷出的骰子的总点数为2,3或12("craps"),则他就输掉了这场赌博。在其他情况下,掷骰方第一把掷出的总点数--即4,5,6,8,9或10--就是他们的"得分"。此时他必须继续掷下去,力争再次掷出一个得分,然后又掷出一个 7("craps out")。如果能掷出这种结果,他就赢了所有赌注,否则他就输得精光。

根据前面提到的各个概率以及这一赌博的规则,可以计算出掷骰方获胜的机会为 244/495,即 49.3%左右。这比胜负机会均等的概率(50%)刚好小一点。职业赌棍可以通过两种方法把这一微小的不利条件转化为优势。一种方法是接受或拒绝与其他参赌者的各种"附带赌"(即超过一般赌注的打赌)。另一种方法则是弄虚作假,在赌博中用掩人耳目的巧妙手法使用做了手脚的骰子。

可以有多种方法在骰子上做手脚。骰子的各面可以巧妙地加以修削,使它们的各个角不成直角,也可以用重物给骰子"灌铅"。这两种方法都可以使骰子掷出某些点数的可能性大于另一些点数。更富有戏剧性的做假手法是用"顶骰"(top)和"底骰"(bottom)来代替标准的骰子。这两个骰子的各面只有3个不同的点数(相对各面的点数相同)。由于任何一位参赌者在任一时候最多只能看到一个骰子的3面,而且所有相邻的面的点数均不相同,所以粗看一下似乎没有什么不正常的情况发生。然而,不可能保证所有顶点上各个面都按标准次序排列。事实上,如果在某一顶点上点数为1,3,5的3个面接反时针方向排列,则在相邻顶点上这3个面就必定按顺时针方向排列。

在掷双骰赌博中,顶骰和底骰可用来达到各种不同的目的。例如,使用一对1-3-5的骰子,永远也不可能掷出7这个总点数,因此用这类骰子一位参赌者永远也不可能赢(crap out)。把一个 1一3-5的骰子和一个2-4-6的骰子合起来用,则不能得出偶数的总点数,因此用这样两个骰子一位参赌者不可能掷出4,6,8或10这些总点数。如果要使这些作弊行径不被人察觉,则顶骰的使用不可太多-一如老是掷出偶数的总点数,那么甚至连最无经验的参赌者也会起疑心的。

许多戏法或聚会上玩的把戏都使用骰子。其中相当多的戏法利用了骰子的相对各面的点数之和为 7这一条规则。Martin Garner在他的着作《数学魔术》中介绍了一个戏法。魔术师转过身去,请一位观众掷3颗标准骰子,然后把朝上的各个面的点数加起来。接着魔术师请这位受骗者拿起任何一个骰子,把其朝下的一面的点数加在前面得到的总数上。最后,这位观众把这个骰子再掷一次,把朝上的一面的点数加在第二个总数上(他必须自己记住所有这些总数)。现在魔术师转回身来,随口报出结果是多少,尽管她并不知道该观众选择的是哪一个骰子。

奥妙何在呢?假定这些骰子朝上一面的点数分别为a,b和c,且该观念选择的是 a骰。最初的总和是 a+ b+ c,在这一总和中加上7-a,就得到b+c+7。然后把a骰再掷一次,得到的点数为d,于是最终结果为d+b+c+7。接着魔术师看看这三个骰子,它们朝上一面点数的总和为d+b+c,这样魔术师只须很快地把这3个数加起来再加上7就大功告成了。

英国难题专家 Henry Ernest Dudene,在他的着作(趣味数学)中介绍了一种不同的把戏。魔术师仍然转过身去,请一位观众掷了个骰子。但现在她是让这位受骗者把第一个骰子的点数乘以2再加5,把这个结果乘以5后再加上第2个骰子掷出的点数,接着再把此结果乘以10,最后再加上第三个骰子掷出的点数。在得知这一结果后,魔术师就立刻报出这三个骰了掷出的点数各为多少。自然该观众得出的最终结果是10(5(2a+5)+b)+c,即 100a+10b+c+250。因此魔术师只须从这个结果中减去250,剩下的三位数中的三个数字就分别是三个骰子所掷出的点数了。其他骰子问题则涉及一些改动了的骰子,它们具有非标准的点数。例如,读者是否能想出一种方法,只用0,1,2,3,4,5或6这几个数字来给一对骰子规定点数,使得这对骰子掷出后其总点数之和的所有各种可能情形(从1到12)出现的机会一样大(答案见本文末尾)?或许最不合符人类直觉的骰子现象是所谓"非可递骰子"。做3个骰子A、B、C,其各面上的点数如下:
A:334488 B:115599 C:226677

在掷了许多次以后,骰子B掷出的点数平均说来将胜过骰子A掷出的点数。事实上,骰子B掷出的点数比骰子A掷出的点数大的概率为5/9。类似地,骰子C掷出的点数比骰子B掷出的点数大的概率也为 5/9。那么骰子 C掷出的点数平均说来显然该比 A掷出的点数大了,对吧?不,恰恰相反,骰子A掷出的点数比骰子C掷出的点数大的概率为5/9。附图阐述了上述说法的理由。你可以用这样一套骰子大赚其钱!让你的赌博对手任挑一个骰子,然后你再选一个可以压倒它的骰子(掷了许多次以后,你的骰子点数超过对手骰子点数的概率大于l/2)再重复这样赌下去。你将在所有赌局的55.55%中获胜。但你的对手却可以自由选择他认为"最佳的"骰子!

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